一、题目
已知 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x}$ $=$ $\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}}$, 则 $a = ?$
难度评级：
二、解析
首先，分析可知，$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x}$ 和 $\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}}$ 都是 $1^{\infty}$ 形式的式子，因此，可以尝试分别使用 “$e$ 抬起” 运算法：
由于式子 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x}$ 中不显含数字 $1$, 仅存在极限 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right) = 1$, 因此，需要进行加减凑项。
$$\begin{aligned}\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x} \\ \\& = \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left( 1 + \frac{x+2 a}{x-a} – 1 \right)^{2 x} \\ \\& = \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{3 a}{x-a}\right)^{\frac{x-a}{3 a}}\right]^{2 x \cdot \frac{3 a}{x-a}} \\ \\& = \mathrm{e}^{\lim \limits_{x \rightarrow \infty} 2 x \cdot \frac{3 a}{x-a}} \\ \\& = \mathrm{e}^{\lim \limits_{x \rightarrow \infty} 2 x \cdot \frac{3 a}{x}} \\ \\& = \mathrm{e}^{6 a}\end{aligned}$$
又：
由于式子 $\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}}$ 显含数字 $1$, 不需要凑项，直接使用 $e$ 抬起公式即可。
$$\begin{aligned}\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}} \\ \\& = \lim \limits_{t \rightarrow 0}\left\{[1+(-2 t)]^{-\frac{1}{2 t}}\right\}^{-\frac{2 t}{\sin t}} \\ \\& = \mathrm{e}^{-2}\end{aligned}$$
由题可知：
$$\mathrm{e}^{6 a} = \mathrm{e}^{-2}$$
因此：
$$a = -\frac{1}{3}$$
考研数学思维导图
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！